حلول المراجعة النهائية (مع الشرح)
السؤال 1
ما هي قيمة المجموع التالي؟
Σk=48 (k-1)
الحل: المجموع يساوي 25.
الشرح: نقوم بالتعويض بقيم k من 4 إلى 8 ونجمع النواتج:
عند k=4: 4 - 1 = 3
عند k=5: 5 - 1 = 4
عند k=6: 6 - 1 = 5
عند k=7: 7 - 1 = 6
عند k=8: 8 - 1 = 7
المجموع: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25
السؤال 2
لتكن P(n) = 1, -4, 9, -16, 25, ... لقيم n = 1, 2, 3, ...، ما هو التخمين للصيغة P(n)؟
الحل: P(n) = (-1)n+1 · n2
الشرح: نلاحظ أن الأرقام (بدون إشارة) هي مربعات الأعداد الكاملة (1، 4، 9، 16...). الإشارة تتناوب؛ تكون موجبة عندما يكون n فردياً، وسالبة عندما يكون n زوجياً. لضبط الإشارة نستخدم (-1)n+1.
السؤال 3
القيمة السداسية عشرية "3AB" تساوي أي تمثيل ثنائي؟
الحل: (001110101011)2
الشرح: للتحويل من سداسي عشر (Hex) إلى ثنائي (Binary)، نحول كل رمز إلى 4 بتات:
3 = 0011
A (الذي يساوي 10) = 1010
B (الذي يساوي 11) = 1011
بدمجهم نحصل على النتيجة النهائية.
السؤال 4
لعلاقة التكرار an = 2an-1 - 3an-2، إذا كان a1 = 2 و a2 = -1، فما قيمة a3؟
الحل: a3 = -8
الشرح: نعوض بـ n=3 في المعادلة المعطاة:
a3 = 2(a2) - 3(a1)
a3 = 2(-1) - 3(2) = -2 - 6 = -8
السؤال 5
إذا كانت الدالة f معرفة استقرائياً بـ f(0) = 4 و f(n) = 3f(n-1) - 4، فما قيمة f(2)؟
الحل: f(2) = 20
الشرح: نحسب بشكل متسلسل:
أولاً نوجد f(1): f(1) = 3(f(0)) - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8
ثانياً نوجد f(2): f(2) = 3(f(1)) - 4 = 3(8) - 4 = 24 - 4 = 20
السؤال 6
إذا كان f0 = 0 و f1 = 1 و fn = fn-1 + fn-2، فما قيمة f4؟
الحل: f4 = 3
الشرح: هذه متتالية فيبوناتشي، كل حد هو مجموع الحدين السابقين له:
f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1
f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3
السؤال 7
إذا كان a = (1101)10 و b = (1011)10 فما قيمة a + b؟
الحل: 2112
الشرح: لاحظ أن الأساس هنا هو 10 (النظام العشري العادي) وليس ثنائياً. لذلك نجمع الأرقام جمعاً تقليدياً: 1101 + 1011 = 2112.
السؤال 8
ما هو الأساس (r) للمتوالية الهندسية {2, 6, 18, 54, ...}؟
الحل: r = 3
الشرح: في المتوالية الهندسية، نحصل على الأساس (r) بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه مباشرة.
6 ÷ 2 = 3 (أو 18 ÷ 6 = 3).
السؤال 9
أثبت أن an = 2n + 1 هو حل لعلاقة التكرار an = 2an-1 - 1 مع a1 = 3.
الحل: تم الإثبات.
الشرح:
1. نتحقق من الشرط الابتدائي: عند n=1، a1 = 21 + 1 = 3 (متحقق).
2. نعوض بالصيغة في الطرف الأيمن لعلاقة التكرار:
2(an-1) - 1 = 2(2n-1 + 1) - 1
ندخل 2 على القوس: = 2n + 2 - 1 = 2n + 1
وهذا يساوي الطرف الأيسر an، مما يثبت صحة الحل.
السؤال 10
أوجد صيغة للمتتالية التالية: 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, ...
الحل: an = (-1/2)n (حيث n تبدأ من 0)
الشرح: هذه متتالية هندسية حدها الأول (a=1) وأساسها (r=-1/2) لأن الإشارة تتناوب والقيمة تُقسم على 2 في كل مرة. الصيغة العامة هي a · rn.
السؤال 11
أوجد صيغة للمتتالية التالية: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... لقيم n=0,1,...
الحل: an = 2n
الشرح: كل حد هو ضعف الحد السابق له، وهي تمثل قوى العدد 2. وبما أن n تبدأ من 0، فإن 20 = 1 وهو الحد الأول.
السؤال 12
أوجد Join و Meet لمصفوفات الصفر والواحد التالية:
A =
,
B =
الشرح:
- Join (الربط): نستخدم بوابة (OR) المنطقية. إذا كان أي من العنصرين المتقابلين 1، تكون النتيجة 1.
- Meet (التقاطع): نستخدم بوابة (AND) المنطقية. يجب أن يكون كلا العنصرين المتقابلين 1 لتكون النتيجة 1، وإلا تكون 0.
السؤال 13
أوجد الضرب البولياني (Boolean product) A ⊙ B للمصفوفات:
A =
,
B =
الشرح: يشبه ضرب المصفوفات العادي (صف في عمود)، لكننا نستبدل عملية الضرب بـ (AND) وعملية الجمع بـ (OR).
العنصر الأول: (1 AND 1) OR (0 AND 0) = 1 OR 0 = 1.
وبنفس الطريقة لباقي العناصر.
السؤال 14
لتكن A =
أوجد
A[n] لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n.
الحل: عندما تضرب المصفوفة البوليانية في نفسها عدة مرات وتكون العناصر مترابطة، تصل إلى حالة ثبات (Saturation). بالنسبة لهذه المصفوفة، ستصبح جميع العناصر 1 للأسس الأكبر من قيمة معينة (في الغالب n≥3).
الشرح: القوة البوليانية تعني ضرب المصفوفة في نفسها بوليانياً. A[1] = A. للحصول على A[2] نحسب A ⊙ A، وهكذا. المصفوفة تمثل مسارات في رسم بياني، والأسس الأكبر تمثل المسارات الأطول.
السؤال 15
أوجد 10012 + 10112 واكتب الناتج بالنظام السداسي عشر (Hexadecimal).
الحل: (14)16
الشرح:
1. نجمع العددين الثنائيين: 1001 + 1011 = 10100.
2. لتحويل 10100 إلى سداسي عشر، نقسمه لـ 4 بتات من اليمين: 0100 و 0001.
0100 بالثنائي = 4
0001 بالثنائي = 1
الناتج: 14 بالنظام السداسي عشر.
السؤال 16
أوجد EF16 + 2010 واكتب الناتج بالنظام الثماني (Octal).
الحل: (403)8
الشرح:
1. نحول الجميع للنظام العشري:
EF16 = (14 × 16) + 15 = 224 + 15 = 239
2. نجمع: 239 + 20 = 259.
3. نحول 259 للنظام الثماني بالقسمة المتتالية على 8:
259 ÷ 8 = 32 والباقي 3
32 ÷ 8 = 4 والباقي 0
4 ÷ 8 = 0 والباقي 4
نقرأ البواقي من الأسفل للأعلى: 403.
السؤال 17
أوجد BA16 + 228 واكتب الناتج بالنظام الثنائي (Binary).
الحل: (11001100)2
الشرح:
1. نحول BA16 لثنائي: B=1011 و A=1010، إذن هو 10111010.
2. نحول 228 لثنائي (كل رقم ثماني إلى 3 بتات): 2=010، إذن هو 010010.
3. نجمع العددين الثنائيين: 10111010 + 00010010 = 11001100.
السؤال 18
لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة n، أثبت أن: 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n+1 - 1
الحل: يتم الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي.
الشرح:
خطوة الأساس: عند n=0، الطرف الأيسر 20 = 1. والطرف الأيمن 20+1 - 1 = 2 - 1 = 1. (متحقق).
الفرضية: نفترض صحتها لـ n=k: 1 + ... + 2k = 2k+1 - 1.
خطوة الاستقراء: نثبت صحتها لـ n=k+1. نضيف 2k+1 للطرفين:
المجموع = (2k+1 - 1) + 2k+1 = 2(2k+1) - 1 = 2k+2 - 1. وهو المطلوب.
السؤال 19
أثبت أن: 1 + 2 + ... + n = ½ n(n+1) لجميع n ≥ 1
الحل: يتم الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي.
الشرح:
خطوة الأساس: عند n=1، الطرف الأيسر 1، والأيمن 1(2)/2 = 1. (متحقق).
الفرضية: نفترض صحتها لـ n=k: المجموع = k(k+1)/2.
خطوة الاستقراء: لـ n=k+1، نضيف (k+1) للطرفين:
k(k+1)/2 + (k+1)
بأخذ (k+1) عامل مشترك وتوحيد المقامات: (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2. وهو المطلوب إثباته.
السؤال 20
أثبت المتباينة n < 2n لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n.
الحل: يتم الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي.
الشرح:
خطوة الأساس: عند n=1، 1 < 2. (متحقق).
الفرضية: نفترض أن k < 2k.
خطوة الاستقراء: نريد إثبات أن k+1 < 2k+1.
من الفرضية، نضرب الطرفين في 2: 2k < 2 · 2k = 2k+1.
بما أن k ≥ 1، فإن k+1 ≤ 2k. إذن k+1 ≤ 2k < 2k+1، وبالتالي k+1 < 2k+1. وهو المطلوب.