حلول المراجعة النهائية

السؤال 1

ما هي قيمة المجموع التالي؟
Σ_k=4⁸ (k-1)

الحل: المجموع يساوي 25.

الشرح: نقوم بالتعويض بقيم k من 4 إلى 8 ونجمع النواتج:
عند k=4: 4 - 1 = 3
عند k=5: 5 - 1 = 4
عند k=6: 6 - 1 = 5
عند k=7: 7 - 1 = 6
عند k=8: 8 - 1 = 7
المجموع: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25

السؤال 2

لتكن P(n) = 1, -4, 9, -16, 25, ... لقيم n = 1, 2, 3, ...، ما هو التخمين للصيغة P(n)؟

الحل: P(n) = (-1)ⁿ⁺¹ · n²

الشرح: نلاحظ أن الأرقام (بدون إشارة) هي مربعات الأعداد الكاملة (1، 4، 9، 16...). الإشارة تتناوب؛ تكون موجبة عندما يكون n فردياً، وسالبة عندما يكون n زوجياً. لضبط الإشارة نستخدم (-1)ⁿ⁺¹.

السؤال 3

القيمة السداسية عشرية "3AB" تساوي أي تمثيل ثنائي؟

الحل: (001110101011)₂

الشرح: للتحويل من سداسي عشر (Hex) إلى ثنائي (Binary)، نحول كل رمز إلى 4 بتات:
3 = 0011
A (الذي يساوي 10) = 1010
B (الذي يساوي 11) = 1011
بدمجهم نحصل على النتيجة النهائية.

السؤال 4

لعلاقة التكرار a_n = 2a_n-1 - 3a_n-2، إذا كان a₁ = 2 و a₂ = -1، فما قيمة a₃؟

الحل: a₃ = -8

الشرح: نعوض بـ n=3 في المعادلة المعطاة:
a₃ = 2(a₂) - 3(a₁)
a₃ = 2(-1) - 3(2) = -2 - 6 = -8

السؤال 5

إذا كانت الدالة f معرفة استقرائياً بـ f(0) = 4 و f(n) = 3f(n-1) - 4، فما قيمة f(2)؟

الحل: f(2) = 20

الشرح: نحسب بشكل متسلسل:
أولاً نوجد f(1): f(1) = 3(f(0)) - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8
ثانياً نوجد f(2): f(2) = 3(f(1)) - 4 = 3(8) - 4 = 24 - 4 = 20

السؤال 6

إذا كان f₀ = 0 و f₁ = 1 و f_n = f_n-1 + f_n-2، فما قيمة f₄؟

الحل: f₄ = 3

الشرح: هذه متتالية فيبوناتشي، كل حد هو مجموع الحدين السابقين له:
f₂ = f₁ + f₀ = 1 + 0 = 1
f₃ = f₂ + f₁ = 1 + 1 = 2
f₄ = f₃ + f₂ = 2 + 1 = 3

السؤال 7

إذا كان a = (1101)₁₀ و b = (1011)₁₀ فما قيمة a + b؟

الحل: 2112

الشرح: لاحظ أن الأساس هنا هو 10 (النظام العشري العادي) وليس ثنائياً. لذلك نجمع الأرقام جمعاً تقليدياً: 1101 + 1011 = 2112.

السؤال 8

ما هو الأساس (r) للمتوالية الهندسية {2, 6, 18, 54, ...}؟

الحل: r = 3

الشرح: في المتوالية الهندسية، نحصل على الأساس (r) بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه مباشرة.
6 ÷ 2 = 3 (أو 18 ÷ 6 = 3).

السؤال 9

أثبت أن a_n = 2ⁿ + 1 هو حل لعلاقة التكرار a_n = 2a_n-1 - 1 مع a₁ = 3.

الحل: تم الإثبات.

الشرح:
1. نتحقق من الشرط الابتدائي: عند n=1، a₁ = 2¹ + 1 = 3 (متحقق).
2. نعوض بالصيغة في الطرف الأيمن لعلاقة التكرار:
2(a_n-1) - 1 = 2(2^n-1 + 1) - 1
ندخل 2 على القوس: = 2ⁿ + 2 - 1 = 2ⁿ + 1
وهذا يساوي الطرف الأيسر a_n، مما يثبت صحة الحل.

السؤال 10

أوجد صيغة للمتتالية التالية: 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, ...

الحل: a_n = (-1/2)ⁿ (حيث n تبدأ من 0)

الشرح: هذه متتالية هندسية حدها الأول (a=1) وأساسها (r=-1/2) لأن الإشارة تتناوب والقيمة تُقسم على 2 في كل مرة. الصيغة العامة هي a · rⁿ.

السؤال 11

أوجد صيغة للمتتالية التالية: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... لقيم n=0,1,...

الحل: a_n = 2ⁿ

الشرح: كل حد هو ضعف الحد السابق له، وهي تمثل قوى العدد 2. وبما أن n تبدأ من 0، فإن 2⁰ = 1 وهو الحد الأول.

السؤال 12

أوجد Join و Meet لمصفوفات الصفر والواحد التالية:

A =

1	1	0
1	1	1

, B =

0	0	1
1	1	0

الحل:
Join:

1	1	1
1	1	1

Meet:

0	0	0
1	1	0

الشرح:
- Join (الربط): نستخدم بوابة (OR) المنطقية. إذا كان أي من العنصرين المتقابلين 1، تكون النتيجة 1.
- Meet (التقاطع): نستخدم بوابة (AND) المنطقية. يجب أن يكون كلا العنصرين المتقابلين 1 لتكون النتيجة 1، وإلا تكون 0.

السؤال 13

أوجد الضرب البولياني (Boolean product) A ⊙ B للمصفوفات:

A =

1	0
0	1
1	0

, B =

1	1	0
0	1	0

الحل:

1	1	0
0	1	0
1	1	0

الشرح: يشبه ضرب المصفوفات العادي (صف في عمود)، لكننا نستبدل عملية الضرب بـ (AND) وعملية الجمع بـ (OR).
العنصر الأول: (1 AND 1) OR (0 AND 0) = 1 OR 0 = 1.
وبنفس الطريقة لباقي العناصر.

السؤال 14

لتكن A =

1	1	0
1	0	1
0	1	0

أوجد A^[n] لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n.

الحل: عندما تضرب المصفوفة البوليانية في نفسها عدة مرات وتكون العناصر مترابطة، تصل إلى حالة ثبات (Saturation). بالنسبة لهذه المصفوفة، ستصبح جميع العناصر 1 للأسس الأكبر من قيمة معينة (في الغالب n≥3).

الشرح: القوة البوليانية تعني ضرب المصفوفة في نفسها بوليانياً. A^[1] = A. للحصول على A^[2] نحسب A ⊙ A، وهكذا. المصفوفة تمثل مسارات في رسم بياني، والأسس الأكبر تمثل المسارات الأطول.

السؤال 15

أوجد 1001₂ + 1011₂ واكتب الناتج بالنظام السداسي عشر (Hexadecimal).

الحل: (14)₁₆

الشرح:
1. نجمع العددين الثنائيين: 1001 + 1011 = 10100.
2. لتحويل 10100 إلى سداسي عشر، نقسمه لـ 4 بتات من اليمين: 0100 و 0001.
0100 بالثنائي = 4
0001 بالثنائي = 1
الناتج: 14 بالنظام السداسي عشر.

السؤال 16

أوجد EF₁₆ + 20₁₀ واكتب الناتج بالنظام الثماني (Octal).

الحل: (403)₈

الشرح:
1. نحول الجميع للنظام العشري:
EF₁₆ = (14 × 16) + 15 = 224 + 15 = 239
2. نجمع: 239 + 20 = 259.
3. نحول 259 للنظام الثماني بالقسمة المتتالية على 8:
259 ÷ 8 = 32 والباقي 3
32 ÷ 8 = 4 والباقي 0
4 ÷ 8 = 0 والباقي 4
نقرأ البواقي من الأسفل للأعلى: 403.

السؤال 17

أوجد BA₁₆ + 22₈ واكتب الناتج بالنظام الثنائي (Binary).

الحل: (11001100)₂

الشرح:
1. نحول BA₁₆ لثنائي: B=1011 و A=1010، إذن هو 10111010.
2. نحول 22₈ لثنائي (كل رقم ثماني إلى 3 بتات): 2=010، إذن هو 010010.
3. نجمع العددين الثنائيين: 10111010 + 00010010 = 11001100.

السؤال 18

لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة n، أثبت أن: 1 + 2 + 2² + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1

الحل: يتم الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي.

الشرح:
خطوة الأساس: عند n=0، الطرف الأيسر 2⁰ = 1. والطرف الأيمن 2⁰⁺¹ - 1 = 2 - 1 = 1. (متحقق).
الفرضية: نفترض صحتها لـ n=k: 1 + ... + 2^k = 2^k+1 - 1.
خطوة الاستقراء: نثبت صحتها لـ n=k+1. نضيف 2^k+1 للطرفين:
المجموع = (2^k+1 - 1) + 2^k+1 = 2(2^k+1) - 1 = 2^k+2 - 1. وهو المطلوب.

السؤال 19

أثبت أن: 1 + 2 + ... + n = ½ n(n+1) لجميع n ≥ 1

الحل: يتم الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي.

الشرح:
خطوة الأساس: عند n=1، الطرف الأيسر 1، والأيمن 1(2)/2 = 1. (متحقق).
الفرضية: نفترض صحتها لـ n=k: المجموع = k(k+1)/2.
خطوة الاستقراء: لـ n=k+1، نضيف (k+1) للطرفين:
k(k+1)/2 + (k+1)
بأخذ (k+1) عامل مشترك وتوحيد المقامات: (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2. وهو المطلوب إثباته.

السؤال 20

أثبت المتباينة n < 2ⁿ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n.

الحل: يتم الإثبات باستخدام الاستقراء الرياضي.

الشرح:
خطوة الأساس: عند n=1، 1 < 2. (متحقق).
الفرضية: نفترض أن k < 2^k.
خطوة الاستقراء: نريد إثبات أن k+1 < 2^k+1.
من الفرضية، نضرب الطرفين في 2: 2k < 2 · 2^k = 2^k+1.
بما أن k ≥ 1، فإن k+1 ≤ 2k. إذن k+1 ≤ 2k < 2^k+1، وبالتالي k+1 < 2^k+1. وهو المطلوب.

حلول المراجعة النهائية (مع الشرح)