📚 الجزء الأول - Propositional Logic

📄 Slide: Proposition

📖 Explanation

الـ

Proposition هو جملة خبرية (declarative sentence) بتكون إما True أو False ، لكن مش الاتنين مع بعض .

💡 Examples:

"Toronto is the capital of Canada" (True) .
"1 + 1 = 2" (True) .

📄 Slide: Which of these sentences are propositions?

📖 Explanation

خلونا نختبر الجمل دي عشان نعرف إيه فيهم يعتبر proposition:

"2 + 3 = 6"
- دي جملة خبرية والنتيجة بتاعتها False. يبقى دي proposition.
"x + 5 = 7"
- الجملة دي مش proposition لأن قيمتها (True أو False) بتعتمد على قيمة الـ x، وممكن تكون True أو False.
"What time is it?"
- دي جملة استفهامية، مش جملة خبرية، فمش proposition.
"Answer this question"
- ده أمر، مش جملة خبرية، فمش proposition.
"Today is Friday"
- دي جملة خبرية ممكن تكون True أو False، فبالتالي هي proposition.

📄 Homework Problem:

📖 Explanation

هنجاوب على مشكلة الواجب دي مع بعض عشان نفهم أكتر. هنشوف إيه من الجمل دي proposition وهنحدد قيمتها (True أو False):

"London is in Denmark."
- دي جملة خبرية والنتيجة بتاعتها False. يبقى دي proposition.
"Do your Homework."
- ده أمر، مش جملة خبرية، فمش proposition.
"India wins the match by 2 runs."
- دي جملة خبرية، وممكن تكون True أو False، يبقى دي proposition.
"x is an even number."
- مش proposition لأن قيمتها بتعتمد على الـ x.
"5 is an odd number."
- دي جملة خبرية والنتيجة بتاعتها True. يبقى دي proposition.
"Rahul."
- مش جملة كاملة، فمش proposition.
"7 + 5 + 7 = 10"
- دي جملة خبرية والنتيجة بتاعتها False. يبقى دي proposition.
"The moon is made of cheese."
- دي جملة خبرية والنتيجة بتاعتها False. يبقى دي proposition.
"The only odd prime number is 2."
- دي جملة خبرية والنتيجة بتاعتها False. يبقى دي proposition.
"God bless you!"
- ده دعاء، مش جملة خبرية، فمش proposition.

📚 الجزء الثاني - Compound Propositions & Logical Operators

📄 Slide: Compound Proposition

📖 Explanation

الـ

Compound Proposition : هو proposition جديد بيتكوّن من proposition واحد أو أكتر موجودين، عن طريق استخدام logical operators .

أمثلة للـ operators:

¬ (Negation)
∧ ( Conjunction )
∨ ( Disjunction )
⊕ ( Exclusive OR )
→ ( Conditional / Implication )
↔ ( Biconditional )

📄 Slide: Negation (¬p)

📖 Definition

الـ Negation هو عكس قيمة الـ proposition. لو الـ p قيمتها True، يبقى الـ ¬p قيمتها False. لو الـ p قيمتها False، يبقى الـ ¬p قيمتها True.

💡 Example:

لو الـ p: "Today is Friday" (قيمتها True).
يبقى الـ ¬p: "Today is not Friday" (قيمتها

False ) .

Truth Table:

p	¬p
T	F
F	T

📄 Slide: Conjunction (p ∧ q)

📖 Definition

الـ

Conjunction هو ربط اتنين propositions ببعض باستخدام الـ operator "∧" . بنقرأه "and" . الـ

Conjunction بتكون قيمتها True بس لو الاتنين propositions اللي فيها (p و q) كانوا True .

💡 Example:

لو الـ p: "Today is Friday"
ولو الـ q: "It is raining today"
يبقى الـ p ∧ q: "Today is Friday and it is raining today" .

Truth Table:

p	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

📄 Slide: Disjunction (p ∨ q)

📖 Definition

الـ

Disjunction هو ربط اتنين propositions ببعض باستخدام الـ operator "∨" . بنقرأه "or" . الـ

Disjunction بتكون قيمتها True لو أي واحدة من الـ propositions اللي فيها كانت True .

💡 Example:

لو الـ p: "Today is Friday"
ولو الـ q: "It is raining today"
يبقى الـ p ∨ q: "Today is Friday or it is raining today" .

Truth Table:

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

📄 Slide: Exclusive OR (p ⊕ q)

📖 Definition

الـ

Exclusive OR هو ربط اتنين propositions ببعض باستخدام الـ operator "⊕" . الـ

Exclusive OR بتكون قيمتها True لو واحدة بس من الـ propositions اللي فيها كانت True ، مش الاتنين مع بعض .

💡 Example:

لو الـ p: "Soup comes with the meal"
ولو الـ q: "Salad comes with the meal"
يبقى الـ p ⊕ q: "Soup or salad comes with the meal but not both" .

Truth Table:

p	q	p ⊕ q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

📄 Slide: Conditional Statement (p → q)

📖 Definition

الـ

Conditional Statement اللي هو الـ Implication ، هو جملة بتتكوّن من اتنين propositions بـ operator "→" .

الـ p بنسميها hypothesis أو الفرضية.
الـ q بنسميها conclusion أو النتيجة. الـ

Conditional Statement بتكون False بس في حالة واحدة: لو الـ hypothesis (p) كانت True والـ conclusion (q) كانت False .

💡 Example:

لو الـ p: "you get 100 on the final"
ولو الـ q: "you will get an A"
يبقى الـ p → q: "If you get 100 on the final then you will get an A" .

Truth Table:

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

📄 Slide: Biconditionals (p ↔ q)

📖 Definition

الـ

Biconditional Statement هو ربط اتنين propositions ببعض باستخدام الـ operator "↔" . بنقرأه "if and only if" أو "iff" . الـ

Biconditional بيكون True لو الـ propositions الاتنين (p و q) ليهم نفس الـ truth value (يعني الاتنين True أو الاتنين False) .

💡 Example:

لو الـ p: "You can take the flight"
ولو الـ q: "You buy a ticket"
يبقى الـ p ↔ q: "You can take the flight iff you buy a ticket" .

Truth Table:

p	q	p ↔ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

📚 الجزء الثالث - Truth tables of compound propositions

📄 Slide: Precedence of logical operators

📖 Explanation

في أي معادلة فيها أكتر من operator، بنمشي على ترتيب معين عشان نعرف نحل المعادلة:

Parentheses ( )
Negation ¬
Conjunction ∧
Disjunction ∨
Exclusive OR ⊕
Conditional →
Biconditional ↔

📄 Problem:

📖 Explanation

تعالى نعمل الـ

truth table للمعادلة دي: (p ∨ ¬q) → (p ∧ q) .

الحل: عشان نحل المعادلة دي، هنمشي خطوة بخطوة بالترتيب اللي فوق. أول حاجة هنحسب الـ ¬q. وبعدين هنحسب (p ∨ ¬q). وبعدين هنحسب (p ∧ q). وفي الآخر هنحسب النتيجة النهائية لكل صف.

Truth Table:

p	q	¬q	p ∨ ¬q	p ∧ q	(p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
T	T	F	T	T	T
T	F	T	T	F	F
F	T	F	F	F	T
F	F	T	T	F	F

الجمل اللي بتعبر عن p → q (Conditional Statement)

الجمل دي كلها معناها واحد: "إذا كان p صحيح، فإن q صحيح".

if p, then q
- مثال: If you study, then you will pass the exam.
if p, q
- مثال: If you study, you will pass the exam.
p implies q
- مثال: Studying implies passing the exam.
p is sufficient for q
- مثال: Studying is a sufficient condition for passing the exam.
- (يعني إنك تذاكر كافي عشان تنجح، لكن ممكن يكون فيه طرق تانية للنجاح غير المذاكرة).
q if p
- مثال: You will pass the exam if you study.
q whenever p
- مثال: You will pass the exam whenever you study.
q is necessary for p
- مثال: Passing the exam is a necessary condition for studying.
- (يعني عشان p (المذاكرة) تحصل، لازم q (النجاح) يكون ممكن، أو إن النجاح شرط ضروري للمذاكرة).
a necessary condition for p is q
- مثال: A necessary condition for studying is passing the exam.
p only if q
- مثال: You study only if you pass the exam.
- (ده معناه إن لو النجاح ما حصلش، يبقى المذاكرة ما حصلتش).

الجمل اللي بتعبر عن p ↔ q (Biconditional Statement)

الجمل دي كلها معناها واحد: "p صحيح إذا وفقط إذا كان q صحيح".

p if and only if q
- مثال: You can get a loan if and only if you have good credit.
p is necessary and sufficient for q
- مثال: Having good credit is a necessary and sufficient condition for getting a loan.
- (ده معناه إن الشرطين مرتبطين ببعض بشكل كامل. لو الأول حصل، يبقى التاني لازم يحصل، ولو الأول ما حصلش، يبقى التاني كمان ما حصلش).
if p then q, and conversely
- مثال: If you have good credit then you can get a loan, and conversely.
p iff q (اختصار لـ if and only if)

أتمنى أن تكون هذه القائمة هي ما كنت تبحث عنه. إذا كان لديك أي أسئلة أخرى، أنا موجود للمساعدة.

📚 الجزء الرابع - Propositional Equivalences

📄 Slide: Definitions

📖 Explanation

هنتكلم على أنواع الـ propositions:

Tautology : هو compound proposition دايماً قيمته True .
Contradiction : هو compound proposition دايماً قيمته False .
Contingency : هو compound proposition لا هو tautology ولا هو contradiction .

📄 Slide: Tautology Examples

📖 Explanation

تعالى نثبت إن المعادلة دي: p ∧ q → p هي

tautology باستخدام الـ truth table .

الحل: هنعمل الـ truth table ونشوف لو كل القيم في العمود الأخير طلعت True، يبقى هي tautology.

Truth Table:

p	q	p ∧ q	p ∧ q → p
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	F	T
F	F	F	T

بما إن كل القيم في العمود الأخير طلعت True، يبقى المعادلة دي فعلاً tautology.

📄 Slide: Logical Equivalences

📖 Definition

الـ

compound propositions بنقول عليهم logical equivalent لو الـ biconditional (p ↔ q) بتاعتهم طلعت tautology .

الـ

notation اللي بنستخدمه عشان نقول إن الـ p و q هما logical equivalent هو p ≡ q .

📄 Problem:

📖 Explanation

اثبت إن ¬(p ∨ q) و ¬p ∧ ¬q هما

logical equivalent باستخدام الـ truth table .

الحل: عشان نثبت ده، هنشوف لو العمود بتاع ¬(p ∨ q) هو هو نفس العمود بتاع ¬p ∧ ¬q. لو طلعوا زي بعض بالظبط، يبقى هما logical equivalent.

Truth Table:

p	q	p ∨ q	¬(p ∨ q)	¬p	¬q	¬p ∧ ¬q
T	T	T	F	F	F	F
T	F	T	F	F	T	F
F	T	T	F	T	F	F
F	F	F	T	T	T	T

بما إن العمود بتاع ¬(p ∨ q) و ¬p ∧ ¬q متطابقين، يبقى المعادلتين دول فعلاً logical equivalent.

📚 الجزء الخامس - Predicates and Quantifiers

📄 Slide: What are Predicates?

📖 Explanation

الـ Predicate هو جزء من الجملة بيصف الـ subject (الموضوع) وبيحتوي على variable (متغير). لما الـ variable ده بياخد قيمة معينة، الجملة كلها بتتحول لـ proposition (جملة خبرية) قيمتها بتبقى True أو False.

💡 Examples:

في الجملة "x is greater than 3":
- الـ predicate هو "is greater than 3".
- الـ variable هو x.
- لما نقول P(x) هي الجملة "x is greater than 3"،
- لو حطينا مكان x قيمة زي 4، هتبقى P(4): "4 is greater than 3" → دي proposition قيمتها True.
- لو حطينا مكان x قيمة زي 2، هتبقى P(2): "2 is greater than 3" → دي proposition قيمتها False.

📄 Slide: Quantifiers

📖 Explanation

الـ Quantifiers هي كلمات بتحدد الكمية (كم شخص أو كم شيء) اللي الجملة بتنطبق عليهم.

فيه نوعين أساسيين:

Universal Quantifier (∀):
- ده معناه "لكل" أو "For all".
- لما بنستخدم الـ ∀x P(x)، معناها إن الجملة P(x) بتكون صحيحة لكل قيمة ممكنة للـ x.
Existential Quantifier (∃):
- ده معناه "يوجد" أو "There exists".
- لما بنستخدم الـ ∃x P(x)، معناها إن الجملة P(x) بتكون صحيحة على الأقل لقيمة واحدة من الـ x.

📄 Slide: ∀x P(x)

📖 Definition

الـ Universal Quantifier بيعبر عن فكرة "لكل" أو "For all". الجملة ∀x P(x) بتكون True لو الـ predicate P(x) صحيح لكل قيمة من الـ x في الـ domain of discourse (النطاق اللي بنشتغل فيه).

💡 Example:

لو الـ domain of discourse هو كل الـ integers (الأعداد الصحيحة).
و الـ P(x) هي الجملة "x + 1 > x".
هل ∀x P(x) صحيحة؟
تعالى نجرب أي عدد صحيح، 5 مثلاً: 5 + 1 > 5 → 6 > 5 (True).
لو جربنا أي عدد صحيح تاني، هنلاقيها دايماً صحيحة.
يبقى الجملة دي True.

📄 Slide: ∃x P(x)

📖 Definition

الـ Existential Quantifier بيعبر عن فكرة "يوجد" أو "There exists". الجملة ∃x P(x) بتكون True لو الـ predicate P(x) صحيح على الأقل لقيمة واحدة من الـ x في الـ domain of discourse.

💡 Example:

لو الـ domain of discourse هو كل الـ integers (الأعداد الصحيحة).
و الـ P(x) هي الجملة "x > 0".
هل ∃x P(x) صحيحة؟
ده معناه "هل يوجد على الأقل عدد صحيح واحد أكبر من 0؟"
الإجابة هي أيوه، فيه أعداد زي 1 و 5 و 100، كل دي أعداد أكبر من الصفر.
يبقى الجملة دي True.
لكن لو الـ P(x) كانت "x = x + 1"، هل ∃x P(x) صحيحة؟
هل فيه عدد صحيح بيساوي نفسه زائد واحد؟ الإجابة هي لأ.
يبقى الجملة دي False.

📚 الجزء السادس - Nested Quantifiers

📄 Slide: Nested Quantifiers

📖 Explanation

الـ Nested Quantifiers هي ببساطة لما بنستخدم أكتر من quantifier في جملة واحدة.

💡 Example:

الجملة ∀x ∃y (x + y = 0)
دي معناها: "لكل x، يوجد y بحيث إن مجموعهم يساوي 0".
لو الـ domain of discourse هو كل الـ integers (الأعداد الصحيحة)، الجملة دي هتكون True.
لأن لكل عدد صحيح (x)، فيه دايماً عدد صحيح تاني (y = -x) بيخلّي المجموع يساوي صفر.

📄 Slide: Examples of Nested Quantifiers

📖 Explanation

تعالى نشوف أمثلة تانية:

∀x ∀y (x + y = y + x)
- دي معناها "لكل x ولكل y، x + y = y + x".
- دي بنسميها commutative property of addition (خاصية الإبدال للجمع)، ودي دايماً صحيحة.
- يبقى الجملة دي True.
∀x ∃y (x + y = 0)
- دي معناها "لكل x، يوجد y بحيث إن x + y = 0".
- زي ما قولنا قبل كده، الجملة دي True.
∃x ∀y (x + y = 0)
- دي معناها "يوجد x، بحيث إن لكل y، x + y = 0".
- يعني هل فيه رقم واحد (x) لو جمعناه على أي رقم تاني في الدنيا (y) النتيجة هتطلع صفر؟
- لأ، مفيش رقم بيحقق الشرط ده.
- يبقى الجملة دي False.

📚 الجزء السابع - Rules of Inference

📄 Slide: What are Rules of Inference?

📖 Explanation

الـ Rules of Inference هي مجموعة من القواعد اللي بنستخدمها عشان نطلع conclusion (نتيجة) منطقية من مجموعة من الـ premises (المُقدمات) اللي عارفين إنها True. الـ Rules of Inference دي هي أساس الاستنتاج المنطقي.

📄 Slide: Modus Ponens

📖 Definition

قاعدة Modus Ponens (طريقة الإثبات) بتقول: لو كان عندنا premise بيقول "إذا كان p صحيح، فإن q صحيح" (p → q)، وعندنا كمان premise تاني بيقول "p صحيح"، فإننا نقدر نستنتج إن "q صحيح".

الشكل الرمزي: (p → q) p ——— ∴ q

💡 Example:

premise: "If it is Monday, then the store is open." (p → q)
premise: "It is Monday." (p)
conclusion: "The store is open." (q)
- بما إن المقدمتين الأوليين صح، يبقى النتيجة الثالثة لازم تكون صح.

📄 Slide: Modus Tollens

📖 Definition

قاعدة Modus Tollens (طريقة النفي) بتقول: لو كان عندنا premise بيقول "إذا كان p صحيح، فإن q صحيح" (p → q)، وعندنا كمان premise تاني بيقول "q ليس صحيحًا" (¬q)، فإننا نقدر نستنتج إن "p ليس صحيحًا" (¬p).

الشكل الرمزي: (p → q) ¬q ——— ∴ ¬p

💡 Example:

premise: "If you have a fever, then you are sick." (p → q)
premise: "You are not sick." (¬q)
conclusion: "You do not have a fever." (¬p)
- بما إن المقدمتين الأوليين صح، يبقى النتيجة الثالثة لازم تكون صح.

📄 Slide: Hypothetical Syllogism

📖 Definition

قاعدة Hypothetical Syllogism (القياس الافتراضي) بتقول: لو كان عندنا premise بيقول "إذا كان p صحيح، فإن q صحيح" (p → q)، وعندنا كمان premise تاني بيقول "إذا كان q صحيح، فإن r صحيح" (q → r)، فإننا نقدر نستنتج إن "إذا كان p صحيح، فإن r صحيح" (p → r).

الشكل الرمزي: (p → q) (q → r) ——— ∴ (p → r)

💡 Example:

premise: "If I work hard, then I will get a promotion." (p → q)
premise: "If I get a promotion, then I will get a raise." (q → r)
conclusion: "If I work hard, then I will get a raise." (p → r)
- بما إن المقدمتين الأوليين صح، يبقى النتيجة الثالثة لازم تكون صح.

📄 Slide: Disjunctive Syllogism

📖 Definition

قاعدة Disjunctive Syllogism (القياس الانفصالي) بتقول: لو كان عندنا premise بيقول "p أو q صحيح" (p ∨ q)، وعندنا كمان premise تاني بيقول "p ليس صحيحًا" (¬p)، فإننا نقدر نستنتج إن "q صحيح".

الشكل الرمزي: (p ∨ q) ¬p ——— ∴ q

💡 Example:

premise: "The car is red or the car is blue." (p ∨ q)
premise: "The car is not red." (¬p)
conclusion: "The car is blue." (q)
- بما إن المقدمتين الأوليين صح، يبقى النتيجة الثالثة لازم تكون صح.

📄 Slide: Addition

📖 Definition

قاعدة Addition (الجمع) هي قاعدة بسيطة جداً. بتقول: لو كان عندنا premise بيقول إن "p صحيح"، فإننا نقدر نستنتج إن "p أو q صحيح" (p ∨ q).

الشكل الرمزي: p ——— ∴ p ∨ q

💡 Example:

premise: "I am happy." (p)
conclusion: "I am happy or I am sad." (p ∨ q)
- بما إن المقدمة الأولى صح، يبقى النتيجة الثانية لازم تكون صح، لأن "p ∨ q" بتكون صح لو واحدة بس منهم صح.

📄 Slide: Simplification

📖 Definition

قاعدة Simplification (التبسيط) بتقول: لو كان عندنا premise بيقول "p و q صحيح" (p ∧ q)، فإننا نقدر نستنتج إن "p صحيح".

الشكل الرمزي: p ∧ q ——— ∴ p

💡 Example:

premise: "It is cold and it is raining." (p ∧ q)
conclusion: "It is cold." (p)
- بما إن المقدمة الأولى صح، يبقى النتيجة الثانية لازم تكون صح.

تمام، لنكمل شرح آخر جزء من ملف الـ PowerPoint.

📚 الجزء الثامن - Propositional Functions

📄 Slide: Propositional Functions

📖 Explanation

الـ Propositional Function هو اسم تاني للـ predicate. هو ببساطة جملة بتحتوي على variable (متغير) أو أكتر. الجملة دي مش بتكون proposition حقيقية غير لما كل الـ variables اللي فيها تاخد قيمة معينة من الـ domain بتاعها.

💡 Example:

لو عندنا الجملة P(x): "x is a student in this class"
الـ domain بتاعنا هو كل الناس.
هنا P(x) مش proposition لأن قيمتها True أو False بتعتمد على الـ x.
لكن لو قلنا P( "Ahmed")، هتبقى "Ahmed is a student in this class".
دي كده بقت proposition حقيقية، قيمتها ممكن تكون True أو False.

📄 Slide: Propositional Functions with multiple variables

📖 Explanation

الـ Propositional Functions ممكن تحتوي على أكتر من variable.

💡 Example:

لو عندنا Q(x, y): "x + y = 2"
الـ domain بتاعنا هو كل الأعداد الصحيحة.
هنا Q(x, y) مش proposition، لأن قيمتها بتعتمد على قيم x و y.
لو قلنا Q(1, 1)، هتبقى "1 + 1 = 2"، ودي proposition قيمتها True.
لو قلنا Q(1, 2)، هتبقى "1 + 2 = 2"، ودي proposition قيمتها False.

📄 Slide: Translating from English to Logic

📖 Explanation

دلوقتي هنتعلم إزاي نحول الجمل من اللغة الإنجليزية لـ logical expressions (تعبيرات منطقية).

💡 Example:

الجملة: " Every student in this class has taken a course in Discrete Mathematics."
الأول، هنعرّف الـ predicates والـ domain:
- الـ domain هو كل الطلاب في الفصل ده.
- الـ C(x) هو الـ predicate "x has taken a course in Discrete Mathematics".
الجملة دي معناها "لكل طالب (x) في الفصل، x أخد كورس الـ Discrete Mathematics".
يبقى الـ logical expression هو: ∀x C(x).

📄 Slide: Problem

📖 Explanation

هنتمرن على ترجمة الجمل دي لـ logical expressions:

"Some students in this class have visited Mexico."
- الـ domain هو كل الطلاب في الفصل ده.
- الـ M(x) هو الـ predicate "x has visited Mexico".
- "Some" معناها "يوجد على الأقل واحد"، يبقى هنستخدم الـ existential quantifier.
- الـ logical expression: ∃x M(x).
"Every student in this class has taken a course in Java or Python."
- الـ domain هو كل الطلاب في الفصل ده.
- الـ J(x) هو الـ predicate "x has taken a Java course".
- الـ P(x) هو الـ predicate "x has taken a Python course".
- "Every" معناها "لكل"، وهنستخدم الـ "or".
- الـ logical expression: ∀x (J(x) ∨ P(x)).
"There is a student in this class who has not taken a course in Java and has visited Mexico."
- الـ domain: كل الطلاب في الفصل ده.
- الـ J(x): "x has taken a Java course".
- الـ M(x): "x has visited Mexico".
- "There is a student" معناها "يوجد"، وهنستخدم "and" و "not".
- الـ logical expression: ∃x (¬J(x) ∧ M(x)).

أكاديمية Acadezi تتمني ان تكون استفدت و لا تنسي تشارك مع اصدقائك للاستفادة و لا تتردد في التواصل معنا اذ محتاج سؤال! 😊