📚 Discrete Mathematics - Chapter 2: Sets (Complete Guide)

📄 PAGE 1

Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums

🎯 Main Topic: Introduction to Sets and Basic Mathematical Structures

This chapter introduces the fundamental building blocks of discrete mathematics: sets, functions, sequences, and sums.

هذا الفصل يقدم اللبنات الأساسية للرياضيات المتقطعة: Sets (المجموعات)، Functions (الدوال)، Sequences (المتتابعات)، و Sums (المجاميع).

المجموعات هي مفهوم أساسي في الرياضيات وتستخدم لتنظيم وتصنيف الأشياء. في هذا الجزء، سنركز على المجموعات بشكل مفصل.

📄 PAGE 2

Chapter 2 - Basic Structures

This page contains only the chapter number.

هذه الصفحة تحتوي فقط على رقم الفصل (2).

📄 PAGE 3

Section Summary

Topics Covered:

Definition of sets
Describing Sets
Roster Method
Set-Builder Notation
Some Important Sets in Mathematics
Empty Set and Universal Set
Subsets and Set Equality
Cardinality of Sets
Tuples
Cartesian Product

ملخص القسم - الموضوعات التي سنغطيها:

Definition of sets: تعريف المجموعات
Describing Sets: طرق وصف المجموعات
Roster Method: طريقة التعداد (سرد العناصر)
Set-Builder Notation: طريقة بناء المجموعة (باستخدام الشرط)
Some Important Sets in Mathematics: مجموعات مهمة في الرياضيات
Empty Set and Universal Set: المجموعة الخالية والمجموعة الشاملة
Subsets and Set Equality: المجموعات الجزئية ومساواة المجموعات
Cardinality of Sets: عدد عناصر المجموعة
Tuples: الثنائيات المرتبة (المتجهات)
Cartesian Product: الجداء الديكارتي

📄 PAGE 4

Introduction to Sets

📝 Introduction: Sets are one of the basic building blocks for the types of objects considered in discrete mathematics.

Key Points:

Sets are denoted with a capital letter, e.g., S = {1, 2, ...}
Important for counting (combinatorics)
Programming languages have set operations
Set theory is an important branch of mathematics
We will use "naive set theory" (informal approach)

💡 Naive Set Theory: An informal approach to set theory, without formal axioms.

مقدمة عن المجموعات:

المجموعات Sets هي أحد اللبنات الأساسية للكائنات في الرياضيات المتقطعة. نرمز للمجموعة بحرف كبير، مثل S = {1, 2, ...}

Important for counting: مهمة في العد والاحتمالات
Programming languages have set operations: لغات البرمجة تحتوي على عمليات للمجموعات
Set theory نظرية المجموعات: فرع مهم في الرياضيات
Naive set theory: نظرية المجموعات الساذجة - نهج غير رسمي بدون بديهيات معقدة

📄 PAGE 5

Definition of a Set

📚 Definition: A set is an unordered collection of objects.

Examples:

The students in this class
The chairs in this room

Terminology:

The objects in a set are called elements or members of the set
A set is said to contain its elements
Notation: a ∈ A denotes that a is an element of set A
Notation: a ∉ A denotes that a is NOT an element of set A

Example: If A = {1, 2, 3}, then 1 ∈ A and 4 ∉ A

تعريف المجموعة: المجموعة Set هي مجموعة غير مرتبة unordered collection من الكائنات.

المصطلحات:

الكائنات في المجموعة تسمى elements (عناصر) أو members (أعضاء) للمجموعة
يقال أن المجموعة contain (تحتوي) عناصرها
a ∈ A: تعني أن a عنصر من المجموعة A (ينتمي إلى A)
a ∉ A: تعني أن a ليس عنصراً من المجموعة A (لا ينتمي إلى A)

مثال: إذا كانت A = {1, 2, 3}، فإن 1 ∈ A و 4 ∉ A

📄 PAGE 6

Describing a Set: Roster Method

📝 Roster Method: Listing all elements of a set between curly braces { }.

Key Properties:

Order is not important: {a, b, c, d} = {b, c, a, d}
Repeating elements doesn't change the set: {a, b, c, d} = {a, b, c, b, c, d}
Ellipses (...) can be used when the pattern is clear: {a, b, c, d, ..., z}

Examples:

{1, 2, 3, 4, 5}

{a, e, i, o, u}

طريقة التعداد Roster Method: هي طريقة لوصف المجموعة عن طريق سرد جميع عناصرها بين قوسين معقوفين { }.

خصائص مهمة:

Order is not important: الترتيب غير مهم. {a, b, c} = {c, b, a}
Repeating elements doesn't change the set: تكرار العناصر لا يغير المجموعة. {a, b, c} = {a, a, b, c, c}
Ellipses (...): يمكن استخدام النقاط عندما يكون النمط واضحاً، مثل {1, 2, 3, ..., 100}

📄 PAGE 7

Roster Method - Examples

More Examples:

Vowels in English alphabet: V = {a, e, i, o, u}
Odd positive integers less than 10: O = {1, 3, 5, 7, 9}
Positive integers less than 100: S = {1, 2, 3, ..., 99}
All integers less than 0: S = {..., -3, -2, -1}

⚠️ Note: The ellipses (...) are used when the pattern is obvious. For infinite sets, we use ... to indicate the pattern continues forever.

أمثلة إضافية على طريقة التعداد:

مجموعة حروف العلة في الإنجليزية: Vowels = {a, e, i, o, u}
مجموعة الأعداد الفردية الموجبة الأقل من 10: O = {1, 3, 5, 7, 9}
مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من 100: S = {1, 2, 3, ..., 99}
مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الأقل من 0: S = {..., -3, -2, -1}

ملاحظة: استخدام النقاط (...) يتم عندما يكون النمط واضحاً. للمجموعات غير المنتهية infinite sets، نستخدم ... للإشارة إلى أن النمط يستمر إلى الأبد.

📄 PAGE 8

Important Sets in Mathematics

Symbol	Name	Description
ℕ	Natural numbers	{0, 1, 2, 3, ...}
ℤ	Integers	{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
ℤ⁺	Positive integers	{1, 2, 3, ...}
ℝ	Real numbers	All real numbers (including irrationals)
ℝ⁺	Positive real numbers	{x ∈ ℝ \| x > 0}
ℂ	Complex numbers	{a + bi \| a, b ∈ ℝ, i² = -1}
ℚ	Rational numbers	{p/q \| p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}

مجموعات مهمة في الرياضيات:

ℕ (Natural numbers): الأعداد الطبيعية {0, 1, 2, 3, ...}
ℤ (Integers): الأعداد الصحيحة {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
ℤ⁺ (Positive integers): الأعداد الصحيحة الموجبة {1, 2, 3, ...}
ℝ (Real numbers): الأعداد الحقيقية (كل الأعداد على خط الأعداد)
ℝ⁺ (Positive real numbers): الأعداد الحقيقية الموجبة
ℂ (Complex numbers): الأعداد المركبة {a + bi | a, b ∈ ℝ}
ℚ (Rational numbers): الأعداد الكسرية (النسبية) {p/q | p, q ∈ ℤ, q ≠ 0}

📄 PAGE 9

Set-Builder Notation

📝 Set-Builder Notation: Specify the property or properties that all members must satisfy.

General Form:

S = {x | P(x)} where P(x) is a predicate (condition) that x must satisfy.

Examples:

S = {x | x is a positive integer less than 100}
O = {x | x is an odd positive integer less than 10}
O = {x ∈ ℤ⁺ | x is odd and x < 10}
ℚ⁺ = {x ∈ ℝ | x = p/q, for some positive integers p, q}

Example with predicate: Prime numbers = {x | x is prime}

طريقة بناء المجموعة Set-Builder Notation:

نحدد الخاصية أو الخصائص التي يجب أن تحققها جميع العناصر.

الصيغة العامة: S = {x | P(x)} حيث P(x) هي شرط predicate يجب أن يحققه x.

أمثلة:

{x | x عدد صحيح موجب أقل من 100}
{x | x عدد فردي موجب أقل من 10}
{x ∈ ℤ⁺ | x فردي و x < 10}
الأعداد الكسرية الموجبة: {x ∈ ℝ | x = p/q, حيث p, q أعداد صحيحة موجبة}

مثال: الأعداد الأولية = {x | x أولي}

📄 PAGE 10

Interval Notation

Types of Intervals:

Notation	Set Description	Type
[a, b]	{x \| a ≤ x ≤ b}	Closed interval
[a, b)	{x \| a ≤ x < b}	Half-open interval
(a, b]	{x \| a < x ≤ b}	Half-open interval
(a, b)	{x \| a < x < b}	Open interval

💡 Note: Square brackets [ ] mean "including the endpoint", parentheses ( ) mean "excluding the endpoint".

ترميز الفترات Interval Notation:

أنواع الفترات:

[a, b]: فترة مغلقة closed interval - a ≤ x ≤ b
[a, b): a ≤ x < b
(a, b]: a < x ≤ b
(a, b): فترة مفتوحة open interval - a < x < b

ملاحظة: الأقواس المعقوفة [ ] تعني "شاملة نقطة النهاية"، الأقواس العادية ( ) تعني "لا تشمل نقطة النهاية".

📄 PAGE 11

Universal Set and Empty Set

Universal Set (U):

The set containing everything currently under consideration
Sometimes implicit, sometimes explicitly stated
Contents depend on the context

Empty Set (∅ or {}):

The set with no elements
Symbolized as ∅ or {}
Example: {x | x ≠ x} = ∅

📊 John Venn (1834-1923): British logician and philosopher, known for Venn diagrams.

المجموعة الشاملة Universal Set:

هي المجموعة التي تحتوي كل شيء قيد الدراسة حالياً
قد تكون ضمنية أو مذكورة صراحة
محتوياتها تعتمد على السياق

المجموعة الخالية Empty Set:

المجموعة التي لا تحتوي على أي عناصر
يرمز لها بـ ∅ أو {}
مثال: {x | x ≠ x} = ∅ (لا يوجد عدد يساوي نفسه)

جون فين (1834-1923): عالم منطق وفيلسوف بريطاني، اشتهر بمخططات فين Venn diagrams.

📄 PAGE 12

Important Reminders About Sets

1. Sets can be elements of sets:

{{1, 2, 3}, a, {b, c}}

{ℕ, ℤ, ℚ, ℝ}

2. The empty set is different from a set containing the empty set:

⚠️ ∅ ≠ {∅}

∅ has no elements
{∅} has one element (the empty set itself)

تذكيرات مهمة عن المجموعات:

1. المجموعات يمكن أن تكون عناصر في مجموعات أخرى:

مثال: {{1, 2, 3}, a, {b, c}} - هذه المجموعة تحتوي على: مجموعة {1,2,3}، العنصر a، والمجموعة {b,c}

مثال آخر: {ℕ, ℤ, ℚ, ℝ} - مجموعة تحتوي على مجموعات الأعداد كعناصر

2. المجموعة الخالية تختلف عن مجموعة تحتوي على المجموعة الخالية:

∅ ≠ {∅}

∅: مجموعة خالية - لا تحتوي على عناصر (عدد العناصر = 0)
{∅}: مجموعة تحتوي على عنصر واحد هو ∅ نفسه (عدد العناصر = 1)

مثال توضيحي: تخيل ∅ كحاوية فارغة، بينما {∅} هي حاوية تحتوي على حاوية فارغة داخلها.

📄 PAGE 13

Set Equality

⚖️ Definition: Two sets are equal if and only if they have the same elements.

Formal Definition:

A = B if and only if ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)

Examples:

{1, 3, 5} = {3, 5, 1} (order doesn't matter)
{1, 5, 5, 5, 3, 3, 1} = {1, 3, 5} (repetition doesn't matter)

مساواة المجموعات Set Equality:

تعريف: مجموعتان متساويتان إذا وفقط إذا كان لهما نفس العناصر.

تعريف رياضي: A = B إذا وفقط إذا ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)

أي: لكل x، x ينتمي إلى A إذا وفقط إذا x ينتمي إلى B.

أمثلة:

{1, 3, 5} = {3, 5, 1} (الترتيب غير مهم)
{1, 5, 5, 5, 3, 3, 1} = {1, 3, 5} (التكرار لا يهم)

ملاحظة: مساواة المجموعات تعتمد فقط على العناصر، وليس على الترتيب أو عدد مرات التكرار.

📄 PAGE 14

Subsets

🧩 Definition: The set A is a subset of B, if and only if every element of A is also an element of B.

Notation:

A ⊆ B denotes that A is a subset of B
Formally: A ⊆ B if and only if ∀x (x ∈ A → x ∈ B)

Important Properties:

For every set S, ∅ ⊆ S (empty set is a subset of every set)
For every set S, S ⊆ S (every set is a subset of itself)

المجموعة الجزئية Subset:

تعريف: المجموعة A هي مجموعة جزئية من B إذا وفقط إذا كان كل عنصر من A هو أيضاً عنصر من B.

ترميز: A ⊆ B تعني أن A مجموعة جزئية من B

رياضياً: A ⊆ B إذا وفقط إذا ∀x (x ∈ A → x ∈ B)

خصائص مهمة:

∅ ⊆ S: المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة (لأنه لا يوجد عنصر في ∅ يمكن أن ينتهك الشرط)
S ⊆ S: كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها

مثال: {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4} لأن كل عنصر من {1,3} موجود في {1,2,3,4}.

📄 PAGE 15

Showing a Set is or is not a Subset

To show A ⊆ B:

Show that if x belongs to A, then x also belongs to B
Take an arbitrary element x from A and prove it's in B

To show A is NOT a subset of B (A ⊈ B):

Find an element x ∈ A with x ∉ B
This x is a counterexample to the claim x ∈ A → x ∈ B

Examples:

Computer science majors ⊆ All students (true)
Integers with squares less than 100 ⊈ Nonnegative integers (counterexample: -5 ∈ first set but not in second)

إثبات أن A مجموعة جزئية من B أو ليست مجموعة جزئية:

لإثبات A ⊆ B:

نثبت أنه إذا كان x ينتمي إلى A، فإن x أيضاً ينتمي إلى B
نأخذ عنصراً عشوائياً x من A ونثبت أنه في B

لإثبات أن A ليست مجموعة جزئية من B (A ⊈ B):

نجد عنصر x ∈ A بحيث x ∉ B
هذا x يسمى counterexample (مثال مضاد) للادعاء x ∈ A → x ∈ B

أمثلة:

طلاب علوم الحاسب ⊆ جميع الطلاب (صحيح)
الأعداد الصحيحة التي مربعها أقل من 100 ⊈ الأعداد غير السالبة (المثال المضاد: -5 ينتمي للمجموعة الأولى لكنه ليس في الثانية)

📄 PAGE 16

Another Look at Equality of Sets

Set Equality Using Subsets:

A = B if and only if A ⊆ B and B ⊆ A

Logical Derivation:

A = B iff ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)
This is equivalent to ∀x [(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]
Which is exactly A ⊆ B and B ⊆ A

💡 Key Insight: This gives us a practical method to prove two sets are equal: show each is a subset of the other.

نظرة أخرى على مساواة المجموعات:

مساواة المجموعات باستخدام المجموعات الجزئية:

A = B إذا وفقط إذا A ⊆ B و B ⊆ A

الاشتقاق المنطقي:

A = B تعني ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)
هذا يعادل ∀x [(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]
وهذا بالضبط يعني A ⊆ B و B ⊆ A

💡 فكرة مهمة: هذه طريقة عملية لإثبات تساوي مجموعتين: نثبت أن كل منهما مجموعة جزئية من الأخرى.

📄 PAGE 17

Proper Subsets

📌 Definition: If A ⊆ B, but A ≠ B, then we say A is a proper subset of B, denoted by A ⊂ B.

Formal Definition:

A ⊂ B means: ∀x (x ∈ A → x ∈ B) ∧ ∃x (x ∈ B ∧ x ∉ A)

Venn Diagram:

A proper subset means A is completely inside B, but B has at least one element not in A.

Example: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}

المجموعة الجزئية الفعلية Proper Subset:

تعريف: إذا كانت A ⊆ B ولكن A ≠ B، نقول أن A مجموعة جزئية فعلية من B، ونرمز بـ A ⊂ B.

تعريف رياضي: A ⊂ B تعني:

∀x (x ∈ A → x ∈ B) (كل عناصر A موجودة في B)
∧ ∃x (x ∈ B ∧ x ∉ A) (ويوجد على الأقل عنصر في B ليس في A)

مثال: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}

في مخطط فين، A تكون بالكامل داخل B، ولكن B لها مساحة إضافية لا تغطيها A.

📄 PAGE 18

Set Cardinality

🔢 Definition: If there are exactly n distinct elements in S where n is a nonnegative integer, we say that S is finite. Otherwise it is infinite.

Cardinality:

The cardinality of a finite set A, denoted by |A|, is the number of (distinct) elements of A.

Examples:

|∅| = 0
|{letters of English alphabet}| = 26
|{1, 2, 3}| = 3
|{∅}| = 1 (this set contains the empty set as an element)
The set of integers is infinite

عدد عناصر المجموعة Cardinality:

تعريف: إذا كان هناك بالضبط n عنصراً مميزاً في S حيث n عدد صحيح غير سالب، نقول أن S منتهية finite. وإلا فهي غير منتهية infinite.

عدد العناصر: عدد عناصر المجموعة المنتهية A، يرمز له بـ |A|، هو عدد العناصر المميزة في A.

أمثلة:

|∅| = 0 (المجموعة الخالية ليس بها عناصر)
|{حروف الأبجدية الإنجليزية}| = 26
|{1, 2, 3}| = 3
|{∅}| = 1 (هذه المجموعة تحتوي على المجموعة الخالية كعنصر)
مجموعة الأعداد الصحيحة غير منتهية (ليس لها عدد محدود من العناصر)

📄 PAGE 19

Power Sets

⚡ Definition: The set of all subsets of a set A, denoted 𝒫(A), is called the power set of A.

Example:

If A = {a, b}, then:

𝒫(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

Important Property:

If a set has n elements, then the cardinality of the power set is 2ⁿ.

📊 |𝒫(A)| = 2^|A|

مجموعة القوى Power Set:

تعريف: مجموعة جميع المجموعات الجزئية للمجموعة A، يرمز لها بـ 𝒫(A)، تسمى مجموعة القوى لـ A.

مثال: إذا كانت A = {a, b}، فإن:

𝒫(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

لاحظ أن ∅ دائماً عنصر في مجموعة القوى (المجموعة الخالية مجموعة جزئية من أي مجموعة)

خاصية مهمة: إذا كانت المجموعة تحتوي على n عنصر، فإن عدد عناصر مجموعة القوى هو 2ⁿ.

📊 |𝒫(A)| = 2^|A|

في المثال: |A| = 2، إذن |𝒫(A)| = 2² = 4

📄 PAGE 20

Tuples

📦 Definition: The ordered n-tuple (a₁, a₂, ..., aₙ) is the ordered collection that has a₁ as its first element, a₂ as its second element, ..., and aₙ as its last element.

Key Properties:

Two n-tuples are equal if and only if their corresponding elements are equal
2-tuples are called ordered pairs
The ordered pairs (a, b) and (c, d) are equal if and only if a = c and b = d

Example: (1, 2) ≠ (2, 1) because order matters in tuples!

المتجهات المرتبة Tuples:

تعريف: المتجه المرتب من الرتبة n ordered n-tuple (a₁, a₂, ..., aₙ) هو مجموعة مرتبة عنصرها الأول a₁، والثاني a₂، وهكذا حتى العنصر الأخير aₙ.

خصائص مهمة:

متجهان متساويان إذا وفقط إذا كانت العناصر المتناظرة متساوية
المتجهات من الرتبة 2 تسمى ordered pairs (أزواج مرتبة)
الزوج المرتب (a, b) يساوي (c, d) إذا وفقط إذا a = c و b = d

⚠️ مهم: الترتيب مهم في المتجهات! (1, 2) ≠ (2, 1) على عكس المجموعات حيث {1, 2} = {2, 1}

📄 PAGE 21

Cartesian Product

🗂️ Definition: The Cartesian Product of two sets A and B, denoted by A × B, is the set of ordered pairs (a, b) where a ∈ A and b ∈ B.

Formula:

A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Example:

A = {a, b}, B = {1, 2, 3}

A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

Relation:

A subset R of the Cartesian product A × B is called a relation from the set A to the set B.

الجداء الديكارتي Cartesian Product:

تعريف: الجداء الديكارتي لمجموعتين A و B، يرمز له بـ A × B، هو مجموعة الأزواج المرتبة (a, b) حيث a ∈ A و b ∈ B.

الصيغة: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

مثال: A = {a, b}, B = {1, 2, 3}

A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

العلاقات Relations: أي مجموعة جزئية R من الجداء الديكارتي A × B تسمى علاقة من المجموعة A إلى المجموعة B.

📊 René Descartes (1596-1650): عالم رياضيات وفيلسوف فرنسي، سمي الجداء الديكارتي باسمه.

📄 PAGE 22

Cartesian Product of Multiple Sets

🗂️ Definition: The cartesian products of the sets A₁, A₂, ..., Aₙ, denoted by A₁ × A₂ × ... × Aₙ, is the set of ordered n-tuples (a₁, a₂, ..., aₙ) where aᵢ belongs to Aᵢ for i = 1, ..., n.

Formula:

A₁ × A₂ × ... × Aₙ = {(a₁, a₂, ..., aₙ) | aᵢ ∈ Aᵢ for i = 1, 2, ..., n}

Example:

A = {0, 1}, B = {1, 2}, C = {0, 1, 2}

A × B × C = {(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2), (0,2,0), (0,2,1), (0,2,2), (1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,2,2)}

الجداء الديكارتي لمجموعات متعددة:

تعريف: الجداء الديكارتي للمجموعات A₁, A₂, ..., Aₙ، يرمز له بـ A₁ × A₂ × ... × Aₙ، هو مجموعة المتجهات المرتبة من الرتبة n (a₁, a₂, ..., aₙ) حيث aᵢ ∈ Aᵢ لكل i.

الصيغة: A₁ × A₂ × ... × Aₙ = {(a₁, a₂, ..., aₙ) | aᵢ ∈ Aᵢ لكل i}

مثال: A = {0, 1}, B = {1, 2}, C = {0, 1, 2}

A × B × C = {(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2), (0,2,0), (0,2,1), (0,2,2), (1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,2,2)}

ملاحظة: عدد العناصر في الجداء الديكارتي هو حاصل ضرب عدد عناصر المجموعات: |A × B × C| = |A| × |B| × |C| = 2 × 2 × 3 = 12

📄 PAGE 23

Truth Sets of Quantifiers

✅ Definition: Given a predicate P and a domain D, we define the truth set of P to be the set of elements in D for which P(x) is true.

Notation:

The truth set of P(x) is denoted by {x ∈ D | P(x)}

Example:

Domain: integers, P(x): "|x| = 1"

Truth set = {-1, 1}

مجموعات الصدق للمكممات Truth Sets of Quantifiers:

تعريف: لدينا عبارة شرطية predicate P ومجال D. مجموعة الصدق truth set لـ P هي مجموعة العناصر في D التي تحقق P(x) (أي تجعلها صحيحة).

ترميز: مجموعة الصدق لـ P(x) يرمز لها بـ {x ∈ D | P(x)}

مثال: المجال: الأعداد الصحيحة، P(x): "|x| = 1"

مجموعة الصدق = {-1, 1} لأن القيمة المطلقة لـ -1 و 1 تساوي 1.

ملاحظة: مجموعة الصدق تربط بين المنطق logic ونظرية المجموعات set theory.

📄 PAGE 24

Set Operations - Section 2.2

This page introduces Section 2.2, which covers operations on sets.

هذه الصفحة تقدم القسم 2.2 الذي يغطي عمليات على المجموعات Set Operations.

📄 PAGE 25

Section Summary - Set Operations

Topics in Section 2.2:

Set Operations
Union
Intersection
Complementation
Difference
More on Set Cardinality
Set Identities
Proving Identities
Membership Tables

ملخص القسم 2.2 - عمليات المجموعات:

Set Operations: عمليات المجموعات
Union: الاتحاد
Intersection: التقاطع
Complementation: المتممة
Difference: الفرق
More on Set Cardinality: المزيد عن عدد العناصر
Set Identities: متطابقات المجموعات
Proving Identities: إثبات المتطابقات
Membership Tables: جداول العضوية

📄 PAGE 26

Boolean Algebra Connection

🧠 Boolean Algebra: Propositional calculus and set theory are both instances of an algebraic system called a Boolean Algebra.

Key Points:

The operators in set theory are analogous to the corresponding operators in propositional calculus
There must be a universal set U - all sets are assumed to be subsets of U

العلاقة مع الجبر البولياني Boolean Algebra:

حساب القضايا propositional calculus ونظرية المجموعات هما تطبيقان لنظام جبري يسمى الجبر البولياني.

نقاط مهمة:

العمليات في نظرية المجموعات تماثل العمليات في منطق القضايا
يجب وجود مجموعة شاملة U - جميع المجموعات تعتبر مجموعات جزئية من U

التشابه:

الاتحاد ∪ يشبه ∨ (أو)
التقاطع ∩ يشبه ∧ (و)
المتممة يشبه ¬ (النفي)

📄 PAGE 27

Union of Sets

🔗 Definition: Let A and B be sets. The union of the sets A and B, denoted by A ∪ B, is the set: {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Example:

What is {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5}?

Solution: {1, 2, 3, 4, 5}

Venn Diagram:

The union includes all elements that are in A OR in B (or both).

اتحاد المجموعات Union:

تعريف: اتحاد المجموعتين A و B، يرمز له بـ A ∪ B، هو المجموعة: {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

أي: العناصر التي تنتمي إلى A أو إلى B (أو لكليهما).

مثال: {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

مخطط فين: الاتحاد يشمل كل المناطق المظللة في كلا الدائرتين.

📄 PAGE 28

Intersection of Sets

🧩 Definition: The intersection of sets A and B, denoted by A ∩ B, is: {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Examples:

{1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
{1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = ∅

Disjoint Sets:

If the intersection is empty, then A and B are said to be disjoint.

تقاطع المجموعات Intersection:

تعريف: تقاطع المجموعتين A و B، يرمز له بـ A ∩ B، هو: {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

أي: العناصر المشتركة التي تنتمي إلى A و B معاً.

أمثلة:

{1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
{1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = ∅ (لا توجد عناصر مشتركة)

مجموعات منفصلة Disjoint Sets:

إذا كان التقاطع خالياً، نقول أن A و B مجموعتان منفصلتان (ليس بينهما عناصر مشتركة).

📄 PAGE 29

Complement of a Set

✖️ Definition: If A is a set, then the complement of A (with respect to U), denoted by A̅, is the set U - A.

Formula:

A̅ = {x ∈ U | x ∉ A}

Example:

If U is the positive integers less than 100, what is the complement of {x | x > 70}?

Solution: {x | x ≤ 70}

Note: The complement of A is sometimes denoted by Aᶜ.

متممة المجموعة Complement:

تعريف: إذا كانت A مجموعة، فإن متممة A (بالنسبة للمجموعة الشاملة U)، يرمز لها بـ A̅، هي المجموعة U - A.

الصيغة: A̅ = {x ∈ U | x ∉ A}

أي: جميع عناصر U التي ليست في A.

مثال: إذا كانت U هي الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من 100، ما هي متممة {x | x > 70}؟

الحل: {x | x ≤ 70}

ملاحظة: أحياناً يرمز للمتممة بـ Aᶜ.

📄 PAGE 30

Difference of Sets

➖ Definition: The difference of A and B, denoted by A - B, is the set containing the elements of A that are not in B. The difference of A and B is also called the complement of B with respect to A.

Formula:

A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} = A ∩ B̅

Venn Diagram:

A - B represents the region of A that does not overlap with B.

فرق المجموعات Difference:

تعريف: فرق A و B، يرمز له بـ A - B، هو المجموعة التي تحتوي على عناصر A التي ليست في B. يسمى أيضاً متممة B بالنسبة لـ A.

الصيغة: A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} = A ∩ B̅

مثال: إذا كانت A = {1, 2, 3, 4} و B = {3, 4, 5}، فإن:

A - B = {1, 2} (العناصر الموجودة في A فقط)

مخطط فين: A - B يمثل منطقة A التي لا تتداخل مع B.

📄 PAGE 31

Cardinality of the Union of Two Sets

🧮 Inclusion-Exclusion Principle: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Explanation:

To count the number of elements in the union, we add the elements in A and B, but we've counted the intersection twice, so we subtract it once.

Example:

Let A be math majors, B be CS majors. To count students who are either math or CS majors:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| (subtract joint majors counted twice)

عدد عناصر اتحاد مجموعتين - مبدأ الشمول والتضمين Inclusion-Exclusion Principle:

القانون: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

شرح: لحساب عدد عناصر الاتحاد، نجمع عناصر A و B، ولكننا قمنا بعدّ عناصر التقاطع مرتين، لذلك نطرحها مرة واحدة.

مثال: لنفرض أن A هم طلاب الرياضيات، B هم طلاب علوم الحاسب. لحساب عدد الطلاب الذين هم إما رياضيات أو علوم حاسب:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| (نطرح الطلاب المشتركين الذين تم عدهم مرتين)

ملاحظة: هذا المبدأ سيتم توسيعه في الفصول القادمة ليشمل اتحاد n من المجموعات.

📄 PAGE 32

Example with U = {0,1,...,10}

Given:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

Find:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A ∩ B = {4, 5}
A̅ = {0, 6, 7, 8, 9, 10}
B̅ = {0, 1, 2, 3, 9, 10}
A - B = {1, 2, 3}
B - A = {6, 7, 8}

مثال تطبيقي:

المعطيات:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

المطلوب وحلّه:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (الاتحاد)
A ∩ B = {4, 5} (التقاطع)
A̅ = {0, 6, 7, 8, 9, 10} (متممة A - كل العناصر في U وليست في A)
B̅ = {0, 1, 2, 3, 9, 10} (متممة B)
A - B = {1, 2, 3} (العناصر في A فقط)
B - A = {6, 7, 8} (العناصر في B فقط)

📄 PAGE 33

Symmetric Difference

🔄 Definition: The symmetric difference of A and B, denoted by A ⊕ B, is the set (A - B) ∪ (B - A).

Using the previous example:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}

A ⊕ B = (A - B) ∪ (B - A) = {1, 2, 3} ∪ {6, 7, 8} = {1, 2, 3, 6, 7, 8}

Venn Diagram:

Symmetric difference includes elements that are in A or in B, but NOT in both.

الفرق المتماثل Symmetric Difference:

تعريف: الفرق المتماثل بين A و B، يرمز له بـ A ⊕ B، هو المجموعة (A - B) ∪ (B - A).

باستخدام المثال السابق:

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}

A ⊕ B = (A - B) ∪ (B - A) = {1, 2, 3} ∪ {6, 7, 8} = {1, 2, 3, 6, 7, 8}

مخطط فين: الفرق المتماثل يشمل العناصر التي هي في A أو في B، ولكن ليس في كليهما معاً.

ملاحظة: A ⊕ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) أيضاً.

📄 PAGES 34-36

Set Identities (Laws of Set Theory)

Identity Laws:

A ∪ ∅ = A
A ∩ U = A

Domination Laws:

A ∪ U = U
A ∩ ∅ = ∅

Idempotent Laws:

A ∪ A = A
A ∩ A = A

Complementation Law:

(A̅)̅ = A

Commutative Laws:

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

Associative Laws:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Distributive Laws:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

De Morgan's Laws:

(A ∪ B)̅ = A̅ ∩ B̅
(A ∩ B)̅ = A̅ ∪ B̅

Absorption Laws:

A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A

Complement Laws:

A ∪ A̅ = U
A ∩ A̅ = ∅

متطابقات المجموعات Set Identities:

قوانين الهوية Identity Laws:

A ∪ ∅ = A (اتحاد A مع المجموعة الخالية يساوي A)
A ∩ U = A (تقاطع A مع المجموعة الشاملة يساوي A)

قوانين السيطرة Domination Laws:

A ∪ U = U (اتحاد A مع الشاملة يساوي الشاملة)
A ∩ ∅ = ∅ (تقاطع A مع الخالية يساوي الخالية)

قوانين تكرار العملية Idempotent Laws:

A ∪ A = A
A ∩ A = A

قانون المتممة Complementation Law:

(A̅)̅ = A (متممة المتممة هي المجموعة نفسها)

قوانين التبديل Commutative Laws:

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

قوانين الدمج Associative Laws:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

قوانين التوزيع Distributive Laws:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

قوانين دي مورجان De Morgan's Laws:

(A ∪ B)̅ = A̅ ∩ B̅ (متممة الاتحاد هي تقاطع المتممات)
(A ∩ B)̅ = A̅ ∪ B̅ (متممة التقاطع هي اتحاد المتممات)

قوانين الامتصاص Absorption Laws:

A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A

قوانين المتممة Complement Laws:

A ∪ A̅ = U
A ∩ A̅ = ∅

📄 PAGE 37

Membership Tables - Introduction

This page shows a partial membership table (0s and 1s) which will be explained in detail on page 44.

هذه الصفحة تعرض جزءاً من جدول العضوية membership table (أصفار وواحدات) والذي سيتم شرحه بالتفصيل في الصفحة 44.

جداول العضوية تستخدم 1 للإشارة إلى أن العنصر ينتمي للمجموعة، و0 للإشارة إلى أنه لا ينتمي.

📄 PAGE 38

Proving Set Identities

Three Ways to Prove Set Identities:

Subset Method: Prove that each set (side of the identity) is a subset of the other
Set Builder Notation: Use set builder notation and propositional logic
Membership Tables: Verify that elements in the same combination of sets always either belong or do not belong to the same side of the identity. Use 1 to indicate "in the set" and 0 to indicate "not in the set".

طرق إثبات متطابقات المجموعات:

طريقة المجموعات الجزئية Subset Method: نثبت أن كل طرف من المتطابقة هو مجموعة جزئية من الطرف الآخر
طريقة بناء المجموعة Set Builder Notation: نستخدم ترميز بناء المجموعة والمنطق الرياضي
جداول العضوية Membership Tables: نتحقق من أن العناصر في نفس التركيبة من المجموعات تنتمي أو لا تنتمي لنفس الطرف من المتطابقة. نستخدم 1 للدلالة على "ينتمي للمجموعة" و 0 للدلالة على "لا ينتمي".

📄 PAGES 39-40

Proof of De Morgan's Law (Part 1)

Proving: (A ∩ B)̅ ⊆ A̅ ∪ B̅

Step-by-step proof:

x ∈ (A ∩ B)̅ (by assumption)
x ∉ (A ∩ B) (definition of complement)
¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) (definition of intersection)
¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) (De Morgan's Law for propositional logic)
x ∉ A ∨ x ∉ B (definition of negation)
x ∈ A̅ ∨ x ∈ B̅ (definition of complement)
x ∈ A̅ ∪ B̅ (definition of union)

إثبات قانون دي مورجان الثاني: (A ∩ B)̅ = A̅ ∪ B̅

الجزء الأول: إثبات أن (A ∩ B)̅ ⊆ A̅ ∪ B̅

نفرض أن x ∈ (A ∩ B)̅
إذن x ∉ (A ∩ B) (تعريف المتممة)
¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) (تعريف التقاطع)
¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) (قانون دي مورجان في المنطق)
x ∉ A ∨ x ∉ B (تعريف النفي)
x ∈ A̅ ∨ x ∈ B̅ (تعريف المتممة)
x ∈ A̅ ∪ B̅ (تعريف الاتحاد)

إذن كل عنصر في (A ∩ B)̅ هو أيضاً في A̅ ∪ B̅، وبالتالي (A ∩ B)̅ ⊆ A̅ ∪ B̅

📄 PAGE 41

Proof of De Morgan's Law (Part 2)

Proving: A̅ ∪ B̅ ⊆ (A ∩ B)̅

Step-by-step proof:

x ∈ A̅ ∪ B̅ (by assumption)
(x ∈ A̅) ∨ (x ∈ B̅) (definition of union)
(x ∉ A) ∨ (x ∉ B) (definition of complement)
¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) (definition of negation)
¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) (De Morgan's Law for propositional logic)
¬(x ∈ A ∩ B) (definition of intersection)
x ∈ (A ∩ B)̅ (definition of complement)

الجزء الثاني: إثبات أن A̅ ∪ B̅ ⊆ (A ∩ B)̅

نفرض أن x ∈ A̅ ∪ B̅
(x ∈ A̅) ∨ (x ∈ B̅) (تعريف الاتحاد)
(x ∉ A) ∨ (x ∉ B) (تعريف المتممة)
¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B) (تعريف النفي)
¬((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) (قانون دي مورجان في المنطق)
¬(x ∈ A ∩ B) (تعريف التقاطع)
x ∈ (A ∩ B)̅ (تعريف المتممة)

إذن كل عنصر في A̅ ∪ B̅ هو أيضاً في (A ∩ B)̅، وبالتالي A̅ ∪ B̅ ⊆ (A ∩ B)̅

النتيجة: من الجزئين نستنتج أن (A ∩ B)̅ = A̅ ∪ B̅

📄 PAGE 42

Union and Intersection of Three Sets

Example:

Let A = {0, 2, 4, 6, 8}, B = {0, 1, 2, 3, 4}, and C = {0, 3, 6, 9}.

What are A ∪ B ∪ C and A ∩ B ∩ C?

Solution:

A ∪ B ∪ C: elements in at least one of A, B, C → {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
A ∩ B ∩ C: elements in all three of A, B, C → {0}

مثال على اتحاد وتقاطع ثلاث مجموعات:

المعطيات:

A = {0, 2, 4, 6, 8}

B = {0, 1, 2, 3, 4}

C = {0, 3, 6, 9}

المطلوب: A ∪ B ∪ C و A ∩ B ∩ C

الحل:

الاتحاد A ∪ B ∪ C: العناصر الموجودة في مجموعة واحدة على الأقل = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
التقاطع A ∩ B ∩ C: العناصر الموجودة في المجموعات الثلاث معاً = {0}

شرح:

الاتحاد: نأخذ كل العناصر التي تظهر في أي من المجموعات
التقاطع: نأخذ فقط العناصر المشتركة بين جميع المجموعات (العنصر 0 فقط موجود في A, B, C معاً)

📄 PAGE 43

Set-Builder Proof of De Morgan's Law

Using set-builder notation to prove (A ∩ B)̅ = A̅ ∪ B̅:

                    (A ∩ B)̅ = {x | x ∉ A ∩ B}

                    = {x | ¬(x ∈ (A ∩ B))}

                    = {x | ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)}

                    = {x | ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}

                    = {x | x ∉ A ∨ x ∉ B}

                    = {x | x ∈ A̅ ∨ x ∈ B̅}

                    = {x | x ∈ A̅ ∪ B̅}

                    = A̅ ∪ B̅

إثبات قانون دي مورجان باستخدام ترميز بناء المجموعة:

                        (A ∩ B)̅ = {x | x ∉ A ∩ B}

                        = {x | ¬(x ∈ (A ∩ B))}

                        = {x | ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)}

                        = {x | ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)}

                        = {x | x ∉ A ∨ x ∉ B}

                        = {x | x ∈ A̅ ∨ x ∈ B̅}

                        = {x | x ∈ A̅ ∪ B̅}

                        = A̅ ∪ B̅

شرح الخطوات:

نبدأ بتعريف المتممة
نحول إلى صيغة منطقية باستخدام ¬
نستخدم تعريف التقاطع
نطبق قانون دي مورجان في المنطق
نعود لترميز عدم الانتماء
نستخدم تعريف المتممة
نستخدم تعريف الاتحاد
نحصل على النتيجة

📄 PAGE 44

Membership Table for Distributive Law

Proving: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A	B	C	B∩C	A∪(B∩C)	A∪B	A∪C	(A∪B)∩(A∪C)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0

✅ Conclusion: The columns for A∪(B∩C) and (A∪B)∩(A∪C) match in every row, proving the distributive law holds.

جدول العضوية لإثبات قانون التوزيع: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

شرح الجدول:

نستخدم 1 للدلالة على أن العنصر ينتمي للمجموعة
نستخدم 0 للدلالة على أن العنصر لا ينتمي للمجموعة
نأخذ جميع الاحتمالات الممكنة لعضوية عنصر في المجموعات A, B, C (8 احتمالات)
نحسب B∩C: تكون 1 فقط عندما B=1 و C=1 معاً
نحسب A∪(B∩C): تكون 1 إذا A=1 أو (B∩C)=1
نحسب A∪B: تكون 1 إذا A=1 أو B=1
نحسب A∪C: تكون 1 إذا A=1 أو C=1
نحسب (A∪B)∩(A∪C): تكون 1 فقط عندما A∪B=1 و A∪C=1 معاً

✅ الاستنتاج: العمودين A∪(B∩C) و (A∪B)∩(A∪C) متطابقان في كل الصفوف، مما يثبت صحة قانون التوزيع.

ملاحظة: جدول العضوية هو طريقة مضمونة لإثبات متطابقات المجموعات، خاصة للمجموعات المنتهية.

📋 SUMMARY

Complete Summary - Sets (Chapter 2, Part 1)

                    ✅ Key Concepts:
                    Set: An unordered collection of objects
Element: An object in a set (a ∈ A)
Roster Method: Listing elements: {a, b, c}
Set-Builder: {x | P(x)}
Empty Set: ∅ or {}
Universal Set: U (contains everything under consideration)
Subset: A ⊆ B (every element of A is in B)
Proper Subset: A ⊂ B (A ⊆ B but A ≠ B)
Cardinality: |A| (number of elements)
Power Set: 𝒫(A) = set of all subsets of A, |𝒫(A)| = 2^|A|
Cartesian Product: A × B = {(a,b) | a∈A, b∈B}

                

✅ Set Operations:

Union: A ∪ B = {x | x∈A ∨ x∈B}
Intersection: A ∩ B = {x | x∈A ∧ x∈B}
Complement: A̅ = {x∈U | x∉A}
Difference: A - B = {x | x∈A ∧ x∉B}
Symmetric Difference: A ⊕ B = (A-B) ∪ (B-A)

✅ Important Formulas:

Inclusion-Exclusion: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
De Morgan's Laws: (A∪B)̅ = A̅∩B̅, (A∩B)̅ = A̅∪B̅
Distributive Laws: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

ملخص كامل - المجموعات (الفصل 2، الجزء الأول)

المفاهيم الأساسية:

Set (مجموعة): مجموعة غير مرتبة من الكائنات
Element (عنصر): كائن في المجموعة، نرمز للانتماء بـ ∈
Roster Method (طريقة التعداد): سرد العناصر بين {} مثل {a, b, c}
Set-Builder Notation (طريقة بناء المجموعة): {x | P(x)} حيث P شرط
Empty Set (المجموعة الخالية): ∅ أو {} - لا تحتوي على عناصر
Universal Set (المجموعة الشاملة): U - تحتوي كل شيء قيد الدراسة
Subset (مجموعة جزئية): A ⊆ B تعني كل عنصر من A موجود في B
Proper Subset (مجموعة جزئية فعلية): A ⊂ B تعني A ⊆ B ولكن A ≠ B
Cardinality (عدد العناصر): |A| عدد عناصر المجموعة A
Power Set (مجموعة القوى): 𝒫(A) مجموعة كل المجموعات الجزئية لـ A، عددها 2^|A|
Cartesian Product (الجداء الديكارتي): A × B = {(a,b) | a∈A, b∈B}

عمليات المجموعات:

Union (الاتحاد): A ∪ B = {x | x∈A ∨ x∈B}
Intersection (التقاطع): A ∩ B = {x | x∈A ∧ x∈B}
Complement (المتممة): A̅ = {x∈U | x∉A}
Difference (الفرق): A - B = {x | x∈A ∧ x∉B}
Symmetric Difference (الفرق المتماثل): A ⊕ B = (A-B) ∪ (B-A)

قوانين مهمة:

Inclusion-Exclusion (الشمول والتضمين): |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
De Morgan's Laws (قوانين دي مورجان): (A∪B)̅ = A̅∩B̅، (A∩B)̅ = A̅∪B̅
Distributive Laws (قوانين التوزيع): A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)، A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

A	B	C	B∩C	A∪(B∩C)	A∪B	A∪C	(A∪B)∩(A∪C)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0

A	B	C	B∩C	A∪(B∩C)	A∪B	A∪C	(A∪B)∩(A∪C)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0

A	B	C	B∩C	A∪(B∩C)	A∪B	A∪C	(A∪B)∩(A∪C)
1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0